Mathématiques
Dérivation — Fonctions usuelles
Formules fondamentales
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(ln x)' = 1/x
(eˣ)' = eˣ
(e^(ax+b))' = a·e^(ax+b)
(ln(u))' = u'/u
(u·v)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v − uv') / v²
(sin x)' = cos x
(cos x)' = −sin x
(ln x)' = 1/x
(eˣ)' = eˣ
(e^(ax+b))' = a·e^(ax+b)
(ln(u))' = u'/u
(u·v)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v − uv') / v²
(sin x)' = cos x
(cos x)' = −sin x
- Dériver f(x) = a − b·ln(x) → f'(x) = −b/x
- Dériver f(x) = k·e^(−at) → f'(t) = −ak·e^(−at)
- Montrer qu'une fonction est une primitive : vérifier F' = f
Étude de fonctions — Variations, extrema
- Calculer f'(x) et résoudre f'(x) = 0 → x critique
- Dresser le tableau de signe de f'(x) → variations de f
- Si f' change de + à − : maximum local
- Si f' change de − à + : minimum local
- Vérifier les bornes de l'intervalle d'étude
- Tangente en x₀ : y = f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀)
⚠ Piège fréquent
Ne pas oublier de vérifier le signe de f' sur tout l'intervalle, pas seulement autour du zéro.
Fonction logarithme — Propriétés
Propriétés algébriques
ln(a·b) = ln a + ln b
ln(a/b) = ln a − ln b
ln(aⁿ) = n·ln a
ln(e) = 1 | ln(1) = 0
ln(eˣ) = x | e^(ln x) = x
ln(a/b) = ln a − ln b
ln(aⁿ) = n·ln a
ln(e) = 1 | ln(1) = 0
ln(eˣ) = x | e^(ln x) = x
- Résoudre ln(x) = k → x = eᵏ
- Résoudre e^(ax) = b → x = ln(b)/a
- Simplifier : −ln(9) + 2ln(3x) = ln(x²)
- Domaine : ln définie sur ]0 ; +∞[
Fonction exponentielle — Propriétés
eᵃ · eᵇ = e^(a+b)
eᵃ / eᵇ = e^(a−b)
(eᵃ)ⁿ = e^(na)
e⁰ = 1 | e¹ = e ≈ 2,718
eᵃ / eᵇ = e^(a−b)
(eᵃ)ⁿ = e^(na)
e⁰ = 1 | e¹ = e ≈ 2,718
- Strictement positive pour tout x réel
- Strictement croissante sur ℝ
- La fonction t ↦ k·e^(−at) + b est solution de y' = −a(y − b)
- Condition initiale : f(0) = k + b
Équations différentielles du 1er ordre
Forme générale et solutions
(E) : y' = ay + b (a ≠ 0)
Solutions : f(t) = k·e^(at) − b/a
où k ∈ ℝ est déterminé par condition initiale
Cas particulier : y' = −5y + 10
→ solution générale : f(t) = k·e^(−5t) + 2
Solutions : f(t) = k·e^(at) − b/a
où k ∈ ℝ est déterminé par condition initiale
Cas particulier : y' = −5y + 10
→ solution générale : f(t) = k·e^(−5t) + 2
- Vérifier qu'une fonction est solution : calculer y' et substituer
- Solution constante : si y' = 0, alors y = −b/a (solution d'équilibre)
- Condition initiale f(0) = y₀ → k = y₀ + b/a
⚠ Méthode à connaître
Pour montrer que f(t) = ke^(at) − b/a est solution : calculer f'(t) = ak·e^(at), puis vérifier que f'(t) = a·f(t) + b.
Intégration — Calcul d'intégrales
Primitives usuelles
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ e^(ax) dx = e^(ax)/a + C
∫ sin(ax) dx = −cos(ax)/a + C
∫ cos(ax) dx = sin(ax)/a + C
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ e^(ax) dx = e^(ax)/a + C
∫ sin(ax) dx = −cos(ax)/a + C
∫ cos(ax) dx = sin(ax)/a + C
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)
- L'intégrale de la vitesse donne le déplacement
- Primitive F de f : vérifier F' = f
- ∫₀¹⁰ (48e^(−5t) + 2)dt → calculer en substituant les bornes
Nombres complexes
z = a + bi (forme algébrique)
z = r·e^(iθ) (forme exponentielle)
|z| = r = √(a² + b²) (module)
arg(z) = θ tel que cos θ = a/r, sin θ = b/r
z̄ = a − bi (conjugué)
z · z̄ = |z|²
z = r·e^(iθ) (forme exponentielle)
|z| = r = √(a² + b²) (module)
arg(z) = θ tel que cos θ = a/r, sin θ = b/r
z̄ = a − bi (conjugué)
z · z̄ = |z|²
- Forme algébrique ↔ exponentielle : r·e^(iθ) = r(cos θ + i·sin θ)
- Multiplier par le conjugué pour rationaliser
- z^n réel : argument = kπ, k entier
- Triangle dans ℂ : utiliser distances entre affixes
Suites — Arithmétiques & Géométriques
Suite arithmétique : uₙ = u₀ + n·r
Somme : S = n·(u₀ + uₙ₋₁)/2
Suite géométrique : uₙ = u₀ · qⁿ
Somme : S = u₀·(1 − qⁿ)/(1 − q) (q ≠ 1)
Somme : S = n·(u₀ + uₙ₋₁)/2
Suite géométrique : uₙ = u₀ · qⁿ
Somme : S = u₀·(1 − qⁿ)/(1 − q) (q ≠ 1)
- Identifier la nature de la suite avant de calculer
- Modélisation : croissance exponentielle → suite géométrique
- Convergence : si |q| < 1, suite géom → 0
Résolution d'équations — Méthodes
- Équation avec ln : mettre sous la forme ln(A) = ln(B) → A = B
- Équation avec eˣ : passer au logarithme des deux membres
- Équation du 2nd degré : Δ = b² − 4ac ; si Δ > 0 → 2 solutions
- Équation type : 148 − 10ln(x) = 136 − 7,5ln(x) → regrouper les ln
Ex : 148 − 10ln(x) = 136 − 7,5ln(x)
→ 12 = 2,5·ln(x)
→ ln(x) = 4,8
→ x = e^(4,8) ≈ 121,5
→ 12 = 2,5·ln(x)
→ ln(x) = 4,8
→ x = e^(4,8) ≈ 121,5
Probabilités & Statistiques
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Loi binomiale : P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)^(n−k)
E(X) = np | σ²(X) = np(1−p)
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Loi binomiale : P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)^(n−k)
E(X) = np | σ²(X) = np(1−p)
- Loi normale : lire un tableau ou utiliser la calculatrice
- Intervalle de confiance à 95 % : p̂ ± 1,96·√(p̂(1−p̂)/n)
Physique — Mécanique & Mouvement
Lois du mouvement — Newton
1ʳᵉ loi : ΣF = 0 ↔ mouvement rectiligne uniforme
2ᵉ loi (fondamentale) : ΣF⃗ = m·a⃗
a = dv/dt (accélération = dérivée de v)
v = dx/dt (vitesse = dérivée de x)
Mouvement rectiligne uniforme : v = cste, a = 0
Mouvement uniformément varié : a = cste ≠ 0
2ᵉ loi (fondamentale) : ΣF⃗ = m·a⃗
a = dv/dt (accélération = dérivée de v)
v = dx/dt (vitesse = dérivée de x)
Mouvement rectiligne uniforme : v = cste, a = 0
Mouvement uniformément varié : a = cste ≠ 0
- Graphe v(t) linéaire décroissant → mouvement décéléré (a < 0)
- Pente du graphe v(t) = accélération a
- Aire sous v(t) = distance parcourue
Forces — Poids, Archimède, Frottement
Poids : P = m·g (N)
Poussée Archimède : Pₐ = ρ_fluide · V · g
Force de frottement : f = 6πηRv (Stokes)
Trainée hydrodyn. : T = k·v (proportionne à v)
Poussée Archimède : Pₐ = ρ_fluide · V · g
Force de frottement : f = 6πηRv (Stokes)
Trainée hydrodyn. : T = k·v (proportionne à v)
- À la vitesse limite : ΣF = 0 → P = Pₐ + f
- Poussée d'Archimède : même direction que P⃗, sens opposé
- g = 9,8 m·s⁻² (donné dans les sujets)
- Unités : masse en kg, force en N, volume en m³
Transferts thermiques
3 modes de transfert :
• Conduction : transfert dans un solide
• Convection : transfert par mouvement de fluide
• Rayonnement : transfert sans contact (ondes EM)
• Conduction : transfert dans un solide
• Convection : transfert par mouvement de fluide
• Rayonnement : transfert sans contact (ondes EM)
- La température évolue selon : T(t) = (T₀ − T_ext)·e^(−t/τ) + T_ext
- Modèle associé à l'équation différentielle : y' = −k(y − T_ext)
- T tend vers T_ext quand t → +∞
- τ = constante de temps (plus τ grand, refroidissement lent)
⚠ À ne pas confondre
Conduction ≠ Convection : la conduction ne nécessite pas de mouvement de matière, la convection si.
Acoustique — Niveaux sonores en dB
L = 10 · log(I / I₀) (en dB)
I₀ = 10⁻¹² W·m⁻² (seuil d'audibilité)
log = logarithme décimal (base 10)
I₀ = 10⁻¹² W·m⁻² (seuil d'audibilité)
log = logarithme décimal (base 10)
- De L à I : I = I₀ · 10^(L/10)
- Ajouter n sources identiques : L_total = L + 10·log(n)
- Absorption : l'intensité diminue de façon exponentielle avec l'épaisseur x
- L dépend du logarithme → petite variation de L = grande variation de I
Ondes — Lumière & Son
v = λ · f (célérité, longueur d'onde, fréquence)
T = 1/f (période)
Son dans l'air : v ≈ 340 m·s⁻¹
Lumière dans le vide : c = 3×10⁸ m·s⁻¹
T = 1/f (période)
Son dans l'air : v ≈ 340 m·s⁻¹
Lumière dans le vide : c = 3×10⁸ m·s⁻¹
- Fréquence = hauteur du son (grave ↔ aigu)
- Amplitude = intensité (fort ↔ doux)
- Indice de réfraction : n = c/v
- Fibre optique : atténuation exponentielle → résoudre e^(−kx) = val
Optique — Réfraction, Fibre optique
Loi de Snell-Descartes :
n₁·sin(i₁) = n₂·sin(i₂)
Réflexion totale interne si : i₁ > i_c
sin(i_c) = n₂/n₁ (n₁ > n₂)
n₁·sin(i₁) = n₂·sin(i₂)
Réflexion totale interne si : i₁ > i_c
sin(i_c) = n₂/n₁ (n₁ > n₂)
- Fibre optique : lumière guidée par réflexion totale interne
- Plus l'indice est grand, plus la lumière ralentit
- Atténuation : P(x) = P₀ · e^(−αx)
Énergie & Puissance — Rappels
Travail d'une force : W = F·d·cos(α) (J)
Puissance : P = W/t = F·v (W)
Énergie cinétique : Ec = ½·m·v²
Énergie potentielle : Ep = m·g·h
Conservation : Ec + Ep = cste (si pas de frottement)
Puissance : P = W/t = F·v (W)
Énergie cinétique : Ec = ½·m·v²
Énergie potentielle : Ep = m·g·h
Conservation : Ec + Ep = cste (si pas de frottement)
- L'intégrale d'une puissance (sur le temps) donne l'énergie
- Conversions : 1 kWh = 3,6×10⁶ J
Physique-Chimie
Lois des gaz parfaits & Pression
Loi des gaz parfaits : P·V = n·R·T
R = 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹
T en Kelvin : T(K) = T(°C) + 273
Pression atm : P₀ = 101 325 Pa ≈ 1 bar
R = 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹
T en Kelvin : T(K) = T(°C) + 273
Pression atm : P₀ = 101 325 Pa ≈ 1 bar
- Volume molaire à 0°C, 1 atm : Vm ≈ 22,4 L·mol⁻¹
- Densité d'un gaz : rapport M_gaz / M_air (M_air ≈ 29 g·mol⁻¹)
Chimie des solutions — pH, Concentrations
pH = −log([H₃O⁺])
[H₃O⁺] = 10^(−pH)
Concentration molaire : C = n/V (mol·L⁻¹)
Dilution : C₁·V₁ = C₂·V₂
[H₃O⁺] = 10^(−pH)
Concentration molaire : C = n/V (mol·L⁻¹)
Dilution : C₁·V₁ = C₂·V₂
- Acide fort : pH = −log(C) directement
- Eau pure : pH = 7 (neutre à 25°C)
- pH croissant → [H₃O⁺] décroissant (relation inverse)
- La fonction log apparaît dans pH → comme pour le son !
Réactions chimiques — Stœchiométrie
- Tableau d'avancement : x = avancement de la réaction
- Réactif limitant : épuisé en premier (x_max plus petit)
- Taux d'avancement final : τ = x_f / x_max (entre 0 et 1)
- Réaction totale si τ = 1, limitée si τ < 1
Radioactivité — Décroissance exponentielle
N(t) = N₀ · e^(−λt)
Demi-vie : t₁/₂ = ln(2) / λ ≈ 0,693 / λ
Demi-vie : t₁/₂ = ln(2) / λ ≈ 0,693 / λ
- La loi est une exponentielle décroissante → même forme que refroidissement
- Résoudre : N(t) = N₀/2 → t = t₁/₂
- Activité : A = λ·N(t)
Électricité — Circuits & Signaux
Circuits électriques — Lois fondamentales
Loi d'Ohm : U = R·I
Puissance : P = U·I = R·I² = U²/R (W)
Effet Joule (chaleur) : Q = P·t (J)
Série : R_eq = R₁ + R₂ + ...
Parallèle : 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + ...
Puissance : P = U·I = R·I² = U²/R (W)
Effet Joule (chaleur) : Q = P·t (J)
Série : R_eq = R₁ + R₂ + ...
Parallèle : 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + ...
- Loi des nœuds : ΣI_entrant = ΣI_sortant
- Loi des mailles : ΣU = 0 (algébrique)
- Facteur de puissance : cos(φ) pour circuit AC
Condensateur & Bobine — Régime transitoire
Condensateur : i = C · du/dt
Décharge RC : u(t) = U₀ · e^(−t/(RC))
τ = R·C (constante de temps)
Bobine : u = L · di/dt
τ = L/R (constante de temps inductif)
Décharge RC : u(t) = U₀ · e^(−t/(RC))
τ = R·C (constante de temps)
Bobine : u = L · di/dt
τ = L/R (constante de temps inductif)
- Méthode tangente pour lire τ sur un graphe : tangente à t=0 coupe l'asymptote en t = τ
- À t = τ : u(τ) ≈ 0,37·U₀ (décharge)
- À t = 5τ : régime permanent atteint (~99%)
- Modèle mathématique : équation différentielle y' = −y/τ + constante
⚠ Lecture graphique de τ
Tracer la tangente en t=0 ; elle coupe l'axe horizontal de la valeur limite en t = τ.
Régime sinusoïdal — Signal alternatif
u(t) = U_max · cos(ωt + φ)
ω = 2πf = 2π/T (pulsation)
U_eff = U_max / √2 (valeur efficace)
f = 50 Hz réseau français → ω = 100π ≈ 314 rad·s⁻¹
ω = 2πf = 2π/T (pulsation)
U_eff = U_max / √2 (valeur efficace)
f = 50 Hz réseau français → ω = 100π ≈ 314 rad·s⁻¹
- Puissance active : P = U_eff · I_eff · cos(φ)
- Puissance instantanée : p(t) = u(t) · i(t)
- Primitive de sin(ωt) : −cos(ωt)/ω
- Primitive de cos(ωt) : sin(ωt)/ω
Facteur de puissance & Pertes Joule
Puissance apparente : S = U_eff · I_eff (VA)
Puissance active : P = S · cos(φ) (W)
Puissance réactive : Q = S · sin(φ) (VAR)
cos(φ) = facteur de puissance
Pertes Joule : P_J = R · I²
Puissance active : P = S · cos(φ) (W)
Puissance réactive : Q = S · sin(φ) (VAR)
cos(φ) = facteur de puissance
Pertes Joule : P_J = R · I²
- cos(φ) proche de 1 → meilleure efficacité énergétique
- Bobine (inductance) : déphasage courant en retard sur tension
- Réseau électrique : minimiser I pour réduire les pertes Joule
Méthodes transversales — À maîtriser absolument
Lecture & Interprétation de graphes
- Pente d'une droite : Δy/Δx → coefficient directeur → interprétation physique
- Tangente en un point : valeur de la dérivée en ce point
- Aire sous une courbe : intégrale → déplacement, énergie, quantité…
- Asymptote : valeur limite quand x → +∞ (régime permanent)
- Modèle exponentiel : identifier si le graphe ressemble à e^(−t/τ)
Modélisation — Du contexte aux maths
- Identifier le type de modèle : linéaire, exponentiel, logarithmique
- Paramètre physique ↔ coefficient mathématique
- Vérifier la cohérence des unités à chaque étape
- Interpréter le résultat dans le contexte du problème
- Arrondir au bon ordre de grandeur (à 10⁻¹, à l'unité…)
⚠ Conseil général
Toujours vérifier que la réponse est physiquement sensée (pas de distance négative, température cohérente…).
Connexions Physique ↔ Maths clés
- Son (dB) → logarithme décimal → propriétés de log
- Refroidissement / RC / radioactivité → équation différentielle → solution exponentielle
- Vitesse → position : intégrale de v(t)
- Accélération → vitesse : intégrale de a(t), ou dérivée de v(t)
- Puissance sinusoïdale → intégrale de f(t) = a − b·sin(ωt) → primitive cos
- Viscosité / frottement → vitesse limite → f = kv → Newton 2
Calculatrice — Usages autorisés clés
- Calculer e^(4,8), ln(121,5), 10^(8,5)…
- Résoudre graphiquement une équation (intersection de courbes)
- Vérifier un résultat numérique
- Calculer une intégrale numériquement (si autorisé)
⚠ Attention
La calculatrice ne remplace pas la justification écrite. Toujours montrer le raisonnement algébrique avant la valeur numérique.