Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Première générale), session Amérique du Nord J1 2026. Il couvre 3 thèmes : Équations et inéquations, Probabilités, Variables aléatoires · espérance et variance. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.
Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d'abord payer 1 euro.
Ensuite,
- le joueur tire une première boule qu'il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l'urne ;
- le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l'urne.
Voici les récompenses qu'il obtient :
- si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 euros ;
- si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 euro ;
- sinon il ne reçoit pas d'argent.
Partie A
Dans cette partie, on considère que cette urne contient 1 boule rouge et 9 boules vertes.
On note :
- $ R_1 $ l'évènement : « La première boule tirée est rouge. »
- $ R_2 $ l'évènement : « La deuxième boule tirée est rouge. »
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.
Arbre pondéré des deux tirages
On note $ X $ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 euro.
Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $ X $.
Montrer que $ P(X = -1) = \dfrac{18}{100}$.
Recopier sur votre feuille et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $ X $ :
| $ k $ | |||
|---|---|---|---|
| $ P(X=k)$ |
Calculer l'espérance de $ X $. Interpréter le résultat.
Partie B
Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant $ n $ boules rouges et $ 10 - n $ boules vertes où $ n $ est un nombre entier naturel avec $ 0 \leq n \leq 10 $.
On note $ Y $ la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.
Démontrer que $ E(Y) = \dfrac{4n^2 - 20n}{100}$.
On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
Pour combien de boules rouges dans l'urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain ?