Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Mathématiques Spécifiques (Première générale, tronc commun), session Sujet 0 — n°3 2026. Il porte sur les thèmes Équations différentielles et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Victor sort un plat du four. La température du plat est alors égale à 180 °C. Il place ce plat dans une pièce dont la température est égale à 25 °C. Le plat refroidit. Le plat ne pourra être servi que lorsque sa température sera devenue inférieure ou égale à 40 °C. On étudie le refroidissement du plat selon deux modèles mathématiques.
Partie A : Premier modèle.
On suppose que la baisse de la température du plat est proportionnelle à la durée du refroidissement, c'est-à-dire au nombre de minutes écoulées depuis la sortie du four. On constate que 3 minutes après la sortie du four, la température du plat est égale à 105 °C.
De combien de degrés le plat a-t-il baissé en 3 minutes ? En 1 minute ?
Vérifier que la température du plat, 5 minutes après la sortie du four, est égale à 55 °C.
Selon ce modèle, quelle serait la température du plat, 8 minutes après la sortie du four ? Ce premier modèle semble-t-il pertinent ?
Partie B : Second modèle.
On dispose toujours des données suivantes :
- la température de la pièce est égale à 25 °C.
- la température du plat à la sortie du four est égale à 180 °C.
- la température du plat, 3 minutes après la sortie du four, est égale à 105 °C.
Pour tout entier naturel $ n $ on note $ U_n $ la différence entre la température du plat et la température de la pièce, $ n $ minutes après la sortie du four.
Exemple : 3 minutes après la sortie du four, l'écart avec la température de la pièce est égal à $ 105 - 25 = 80 $. On a donc $ U_3 = 80 $.
Justifier que $ U_0 = 155 $.
On suppose que chaque minute la différence $ U_n $ diminue de 20 %.
a. Justifier que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ U_{n+1} = 0{,}8\, U_n $.
b. En déduire la nature de la suite $ (U_n)$ et donner sa raison.
c. Exprimer $ U_n $ en fonction de $ n $, pour tout entier naturel $ n $.
d. On dispose des données suivantes :
| $ n $ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $ U_n $ arrondi à $ 10^{-1}$ | 80 | 64 | 51,2 | 41 | 32,8 | 26,2 | 21 | 16,8 | 13,4 | 10,7 | 8,6 | 6,9 | 5,5 |
Au bout de combien de minutes, Victor pourra-t-il servir le plat ?