Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Première générale), session Amérique du Nord J1 2026. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $ f $ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = (4x - 4)\,e^{-0{,}5x} + 5$$
On note $\mathcal{C}_f $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
On admet que $ f $ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $ f'$ sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout $ x \in \mathbb{R}$, $ f'(x) = (-2x + 6)\,e^{-0{,}5x}$.
Étudier le signe de $ f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $ f $ sur $\mathbb{R}$.
La courbe $\mathcal{C}_f $ admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.