BAC 1ère 2026 — Sujet 0 — n°2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Première générale), session Sujet 0 — n°2 2026. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Optimisation, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 1
En 2020, une ville comptait 10 000 habitants. On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $ (u_n)$ définie ainsi :
$$\begin{cases} u_0 = 10\,000 \\ u_{n+1} = 1{,}08\,u_n - 300, \quad n \in \mathbb{N} \end{cases}$$
où $ u_n $ représente le nombre d'habitants pour l'année $ 2020 + n $.
Indiquer ce que représente $ u_1 $ et calculer sa valeur.
On considère la suite $ (v_n)$ définie pour tout entier naturel $ n $ par $ v_n = u_n - 3\,750 $.
a. Déterminer $ v_0 $.
b. Démontrer que pour tout entier naturel $ n $, on a $ v_{n+1} = 1{,}08\,v_n $.
c. En déduire la nature de la suite $ (v_n)$.
d. Pour tout entier naturel $ n $, exprimer $ v_n $ en fonction de $ n $.
e. En déduire que pour tout entier naturel $ n $, on a $ u_n = 6\,250 \times 1{,}08^n + 3\,750 $.
Le tableau ci-contre, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2 : `= 6250*1,08^A2 + 3750`
La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra 19 000 habitants. La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.
Aide au calcul : $ 10\,000 - 3\,750 = 6\,250 $ ; $ 1{,}08 \times 4\,050 = 4\,374 $ ; $\dfrac{4\,050}{1{,}08} = 3\,750 $ ; $ 3\,750 \times 1{,}08 = 4\,050 $