Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2021. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Divers, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2
Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique. Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.
Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite $(u_n)$ définie par :
$$\begin{cases} u_0 = 0{,}6 \\ u_{n+1} = 0{,}75\,u_n\left(1 - 0{,}15\,u_n\right) \end{cases}$$
où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année $2020 + n$.
Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ par
$$f(x) = 0{,}75x(1 - 0{,}15x).$$
Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ et dresser son tableau de variations.
Résoudre dans l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ l'équation $f(x) = x$.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.
Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
Le biologiste a programmé en langage Python la fonction `menace()` ci-dessous :
def menace() :
u = 0.6
n = 0
while u > 0.02 :
u = 0.75*u*(1-0.15*u)
n = n+1
return n
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction `menace()`.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.