Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2021. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Probabilités…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3 — Commun à tous les candidats
Dans le parc national des Pyrénées, un chercheur travaille sur le déclin d'une espèce protégée dans les lacs de haute-montagne : le « crapaud accoucheur ».
Les parties I et II peuvent être abordées de façon indépendante.
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Partie I : Effet de l'introduction d'une nouvelle espèce.
Dans certains lacs des Pyrénées, des truites ont été introduites par l'homme afin de permettre des activités de pêche en montagne. Le chercheur a étudié l'impact de cette introduction sur la population de crapauds accoucheurs d'un lac.
Ses études précédentes l'amènent à modéliser l'évolution de cette population en fonction du temps par la fonction $f$ suivante :
$$f(t) = \left(0{,}04t^2 - 8t + 400\right)e^{\frac{t}{50}} + 40 \quad \text{pour } t \in \left[0\,;\,120\right]$$
La variable $t$ représente le temps écoulé, en jour, à partir de l'introduction à l'instant $t = 0$ des truites dans le lac, et $f(t)$ modélise le nombre de crapauds à l'instant $t$.
Déterminer le nombre de crapauds présents dans le lac lors de l'introduction des truites.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[0\,;\,120\right]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Montrer, en faisant apparaître les étapes du calcul, que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $\left[0\,;\,120\right]$ on a :
$$f'(t) = t(t-100)e^{\frac{t}{50}} \times 8 \times 10^{-4}$$
Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,120\right]$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle (on donnera des valeurs approchées au centième).
Selon cette modélisation :
Déterminer le nombre de jours $J$ nécessaires afin que le nombre de crapauds atteigne son minimum. Quel est ce nombre minimum ?
Justifier que, après avoir atteint son minimum, le nombre de crapauds dépassera un jour $140$ individus.
À l'aide de la calculatrice, déterminer la durée en jour à partir de laquelle le nombre de crapauds dépassera $140$ individus.
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Partie II : Effet de la Chytridiomycose sur une population de têtards
Une des principales causes du déclin de cette espèce de crapaud en haute montagne est une maladie, la « Chytridiomycose », provoquée par un champignon.
Le chercheur considère que :
- Les trois quarts des lacs de montagne des Pyrénées ne sont pas infectés par le champignon, c'est-à-dire qu'ils ne contiennent aucun têtard (larve du crapaud) contaminé.
- Dans les lacs restants, la probabilité qu'un têtard soit contaminé est de $0{,}74$.
Le chercheur choisit au hasard un lac des Pyrénées, et y procède à des prélèvements.
Pour la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième lorsque cela est nécessaire.
Le chercheur prélève au hasard un têtard du lac choisi afin d'effectuer un test avant de le relâcher.
On notera $T$ l'évènement « Le têtard est contaminé par la maladie » et $L$ l'évènement « Le lac est infecté par le champignon ».
On notera $\overline{L}$ l'évènement contraire de $L$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$.
Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l'énoncé :
Arbre de probabilité à compléter
Montrer que la probabilité $P(T)$ que le têtard prélevé soit contaminé est de $0{,}185$.
Le têtard n'est pas contaminé. Quelle est la probabilité que le lac soit infecté ?