Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Mars 2021. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{e^x}{x}.$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
Préciser la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on a :
$$f'(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$$
où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On établira un tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel apparaîtront les limites.
Soit $m$ un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$.
On note $\Delta$ la droite d'équation $y = -x$.
On note $A$ un éventuel point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
Montrer que $a$ est solution de l'équation $e^x(x-1) + x^2 = 0$.
On note $g$ la fonction définie sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par $g(x) = e^x(x-1) + x^2$.
On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g'$ sa fonction dérivée.
Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$, puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer qu'il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.