BAC Spé Maths 2021 — Polynésie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2021. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur égale à $1$.
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE}\right)$.
On considère le point $M$ tel que $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BH}$.
Cube ABCDEFGH avec le point M tel que $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BH}$
Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$, $G$ et $H$.
Quelle est la nature du triangle $EGD$ ? Justifier la réponse.
On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2$.
Montrer que l'aire du triangle $EGD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Démontrer que les coordonnées de $M$ sont $\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right)$.
Justifier que le vecteur $\vec{n}(-1\,;\,1\,;\,1)$ est normal au plan $(EGD)$.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est : $-x + y + z - 1 = 0$.
Soit $\mathscr{D}$ la droite orthogonale au plan $(EGD)$ et passant par le point $M$.
Montrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est :
$$\mathscr{D} : \begin{cases} x = \dfrac{2}{3} - t \\ y = \dfrac{1}{3} + t \\ z = \dfrac{1}{3} + t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}$$
Le cube $ABCDEFGH$ est représenté ci-dessous selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide $GEDM$, en gris sur la figure :
Pyramide GEDM représentée en gris dans le cube ABCDEFGH
Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide $GEDM$.
Soit $K$, le pied de la hauteur de la pyramide $GEDM$ issue du point $M$.
Démontrer que les coordonnées du point $K$ sont $\left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right)$.
En déduire le volume de la pyramide $GEDM$.
On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{b \times h}{3}$ où $b$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.