Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2021. Il porte sur les thèmes Limites de fonctions et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 10000$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = 0{,}95u_n + 200.$$
Calculer $u_1$ et vérifier que $u_2 = 9415$.
Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ :
$$u_n > 4000.$$
On admet que la suite $(u_n)$ est décroissante. Justifier qu'elle converge.
Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $(v_n)$ définie par : $v_n = u_n - 4000$.
Calculer $v_0$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison égale à $0{,}95$.
En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
$$u_n = 4000 + 6000 \times 0{,}95^n.$$
Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ ? Justifier la réponse.
En 2020, une espèce animale comptait 10 000 individus. L'évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu'à partir de l'année 2021, cette population baissera de 5 % chaque début d'année.
Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire 200 individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.
Une responsable d'une association soutenant cette stratégie affirme que : « l'espèce ne devrait pas s'éteindre, mais malheureusement, nous n'empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ».
Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.