Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Sujet 0 2021. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté $1$, le milieu $I$ de $[EF]$ et $J$ le symétrique de $E$ par rapport à $F$.
Cube $ABCDEFGH$ de côté $1$ avec le milieu $I$ de $[EF]$ et le point $J$ symétrique de $E$ par rapport à $F$.
Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE}\right)$.
1.
a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
b. En déduire les coordonnées des vecteurs $\vec{DJ}$, $\vec{BI}$ et $\vec{BG}$.
c. Montrer que $\vec{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BGI)$.
d. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est $2x - y + z - 2 = 0$.
2. On note $d$ la droite passant par $F$ et orthogonale au plan $(BGI)$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
b. On considère le point $L$ de coordonnées $\left(\frac{2}{3}\,;\,\frac{1}{6}\,;\,\frac{5}{6}\right)$.
Montrer que $L$ est le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(BGI)$.
3. On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule
$$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$$
où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
a. Calculer le volume de la pyramide $FBGI$.
b. En déduire l'aire du triangle $BGI$.