BAC Spé Maths 2022 — Amérique du Nord J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2022. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Fonction exponentielle. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
Soit $p$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[-3\,;\,4\right]$ par :
$$p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$$
Déterminer les variations de la fonction $p$ sur l'intervalle $\left[-3\,;\,4\right]$.
Justifier que l'équation $p(x) = 0$ admet dans l'intervalle $\left[-3\,;\,4\right]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$.
Déterminer une valeur approchée du réel $\alpha$ au dixième près.
Donner le tableau de signes de la fonction $p$ sur l'intervalle $\left[-3\,;\,4\right]$.
Partie B
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[-3\,;\,4\right]$ par :
$$f(x) = \frac{e^x}{1+x^2}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[-3\,;\,4\right]$.
Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $1$.
Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe $\mathcal{C}_f$ comme profil d'un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.
Représentation de la courbe $\mathcal{C}_f$ et vue de profil du toboggan
D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
On admet que la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, a pour expression pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[-3\,;\,4\right]$ :
$$f''(x) = \frac{p(x)(x-1)e^x}{\left(1+x^2\right)^3}$$
où $p$ est la fonction définie dans la partie A.
En utilisant l'expression précédente de $f''$, répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.