BAC Spé Maths 2022 Amérique du Sud J1 — Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie

Exercice

EXERCICE 4 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

Dans la figure ci-dessous, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que $AB = 5$, $AD = 3$ et $AE = 2$.
L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont respectivement pour coordonnées $(5\,;\,0\,;\,0)$, $(0\,;\,3\,;\,0)$ et $(0\,;\,0\,;\,2)$.

Parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ avec le point $M$ sur $[GH]$

Question Q1a

Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points $H$ et $G$.

Question Q1b

Donner une représentation paramétrique de la droite $(GH)$.

Soit $M$ un point du segment $[GH]$ tel que $\overrightarrow{HM} = k\,\overrightarrow{HG}$ avec $k$ un nombre réel de l'intervalle $[0\,;\,1]$.

Question Q2a

Justifier que les coordonnées de $M$ sont $(5k\,;\,3\,;\,2)$.

Question Q2b

En déduire que $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CM} = 25k^2 - 25k + 4$.

Question Q2c

Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $AMC$ est un triangle rectangle en $M$.

Dans toute la suite de l'exercice, on considère que le point $M$ a pour coordonnées $(1\,;\,3\,;\,2)$.
On admet que le triangle $AMC$ est rectangle en $M$.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times h$ où $h$ est la hauteur relative à la base.

On considère le point $K$ de coordonnées $(1\,;\,3\,;\,0)$.

Question Q3a

Déterminer une équation cartésienne du plan $(ACD)$.

Question Q3b

Justifier que le point $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.

Question Q3c

En déduire le volume du tétraèdre $MACD$.

Question Q4

On note $P$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AMC)$.
Calculer la distance $DP$ ; en donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.

BAC Spé Maths 2022 — Amérique du Sud J1

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