BAC Spé Maths 2022 — Amérique du Sud J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2022. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$, définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, par :
$$f(x) = 3x - x\ln(x) - 2\ln(x)$$
PARTIE A : Étude d'une fonction auxiliaire $g$
Soit $g$ la fonction définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$g(x) = 2(x-1) - x\ln(x)$$
On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$$
Calculer $g(1)$ et $g(e)$.
Déterminer $$\lim_{x \to 0^+} g(x)$$ en justifiant votre démarche.
Montrer que, pour tout $x > 0$, $g'(x) = 1 - \ln(x)$.
En déduire le tableau des variations de $g$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ : $1$ et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l'intervalle $\left[e\,;\,+\infty\right[$.
On donnera un encadrement de $\alpha$ à $0{,}01$ près.
En déduire le tableau de signes de $g$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
PARTIE B : Étude de la fonction $f$
On considère dans cette partie la fonction $f$, définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, par
$$f(x) = 3x - x\ln(x) - 2\ln(x)$$
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère $\left(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j}\right)$ ci-dessous. On admet que : $$\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$$
$\mathcal{C}_f$
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en justifiant votre démarche.
Justifier que pour tout $x > 0$, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$.
En déduire le tableau des variations de $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est définie par
$$f''(x) = \frac{2-x}{x^2}$$
Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.