BAC Spé Maths 2022 — Asie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2022. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
Dans le repère orthonormé ci-dessous, sont tracées les courbes représentatives d'une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f'$, toutes deux définies sur $\left]3\,;\,+\infty\right[$.
$\mathcal{C}_2$ (courbe rouge pointillée) et $\mathcal{C}_1$ (courbe bleue)
Associer à chaque courbe la fonction qu'elle représente. Justifier.
Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l'équation $f(x) = 3$.
Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$.
Partie B
Justifier que la quantité $\ln\left(x^2 - x - 6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l'intervalle $\left]3\,;\,+\infty\right[$, que l'on nommera $I$ dans la suite.
On admet que la fonction $f$ de la Partie A est définie par $f(x) = \ln\left(x^2 - x - 6\right)$ sur $I$.
Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l'intervalle $I$.
En déduire une équation d'une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$.
Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de $I$.
Justifier que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]5\,;\,6\right[$.
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
Justifier que $$f''(x) = \frac{-2x^2 + 2x - 13}{\left(x^2 - x - 6\right)^2}.$$
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$.