BAC Spé Maths 2022 Centres étrangers J2 — Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de foncti

Exercice

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

Question Q1QCM

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x) = \frac{x}{e^x}$$

On suppose que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

$f'(x) = e^{-x}$

$f'(x) = x e^{-x}$

$f'(x) = (1-x)e^{-x}$

$f'(x) = (1+x)e^{-x}$

Question Q2QCM

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle $\left[-3\,;\,1\right]$. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde $f''$.

$Représentation graphique de la fonction dérivée seconde $f''$ sur $[-3\,;\,1]$$

Représentation graphique de la fonction dérivée seconde $f''$ sur $[-3\,;\,1]$

On peut alors affirmer que :

La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[-1\,;\,1\right]$

La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $\left[-2\,;\,0\right]$

La fonction $f'$ est décroissante sur l'intervalle $\left[-2\,;\,0\right]$

La fonction $f'$ admet un maximum en $x = -1$

Question Q3QCM

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = x^3 e^{-x^2}$$

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$,

$F(x) = -\frac{1}{6}\left(x^3 + 1\right)e^{-x^2}$

$F(x) = -\frac{1}{4}x^4 e^{-x^2}$

$F(x) = -\frac{1}{2}\left(x^2 + 1\right)e^{-x^2}$

$F(x) = x^2\left(3 - 2x^2\right)e^{-x^2}$

Question Q4QCM

Que vaut :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1}$$

$-1$

$1$

$+\infty$

n'existe pas

Question Q5QCM

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x+1}$.

La seule primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ telle que $F(0) = 1$ est la fonction :

$x \mapsto 2e^{2x+1} - 2e + 1$

$x \mapsto 2e^{2x+1} - e$

$x \mapsto \frac{1}{2}e^{2x+1} - \frac{1}{2}e + 1$

$x \mapsto e^{x^2+x}$

Question Q6QCM

Dans un repère, on a tracé ci-contre la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\left[-2\,;\,4\right]$

$Courbe représentative de $f$ sur $[-2\,;\,4]$$

Courbe représentative de $f$ sur $[-2\,;\,4]$

Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction $f''$, dérivée seconde de $f$ ?

Courbes candidates a, b, c, d pour la dérivée seconde $f''$

Courbe a

Courbe b

Courbe c

Courbe d

BAC Spé Maths 2022 — Centres étrangers J2

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