Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Madagascar J1 2022. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Python…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :
$$f(x) = 1 + x - e^{0{,}5x-2}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa dérivée.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul,
$$f(x) = 1 + 0{,}5x\left(2 - \frac{e^{0{,}5x}}{0{,}5x} \times e^{-2}\right)$$
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) < 0$ est l'intervalle $\left]4+2\ln(2)\,;\,+\infty\right[$.
Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. On fera figurer la valeur exacte de l'image de $4+2\ln(2)$ par $f$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $\left[-1\,;\,0\right]$.
Partie B
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est la fonction définie à la partie A.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$$
En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On notera $\ell$ la limite.
On rappelle que $f$ vérifie la relation $\ell = f(\ell)$.
Démontrer que $\ell = 4$.
On considère la fonction `valeur` écrite ci-contre dans le langage Python :
def valeur(a):
u = 0
n = 0
while u <= a:
u = 1 + u - exp(0.5*u - 2)
n = n + 1
return n
L'instruction `valeur(3.99)` renvoie la valeur 12.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.