Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Madagascar J2 2022. Il couvre 5 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Thème : Fonctions, Fonction exponentielle, Fonction logarithme ; Suites
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $\left]0\,;\,1\right]$ par :
$$f(x) = e^{-x} + \ln(x)$$
Calculer la limite de $f$ en $0$.
On admet que $f$ est dérivable sur $\left]0\,;\,1\right]$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0\,;\,1\right]$, on a :
$$f'(x) = \frac{1 - xe^{-x}}{x}$$
Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0\,;\,1\right]$, on a $xe^{-x} < 1$.
En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\left]0\,;\,1\right]$.
Démontrer qu'il existe un unique réel $\ell$ appartenant à $\left]0\,;\,1\right]$ tel que $f(\ell) = 0$.
On définit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ par :
$$\begin{cases} a_0 = \dfrac{1}{10} \\ b_0 = 1 \end{cases} \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, \quad \begin{cases} a_{n+1} = e^{-b_n} \\ b_{n+1} = e^{-a_n} \end{cases}$$
Calculer $a_1$ et $b_1$. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.
On considère ci-dessous la fonction `termes`, écrite en langage Python.
def termes(n):
a = 1/10
b = 1
for k in range(0, n):
c = ...
b = ...
a = c
return (a, b)
Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction `termes` calcule les termes des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.
On rappelle que la fonction $x \longmapsto e^{-x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1$$
En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont convergentes.
On note $A$ la limite de $(a_n)$ et $B$ la limite de $(b_n)$.
On admet que $A$ et $B$ appartiennent à l'intervalle $\left]0\,;\,1\right]$, et que $A = e^{-B}$ et $B = e^{-A}$.
Démontrer que $f(A) = 0$.
Déterminer $A - B$.