Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2022. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points
$$A(-1\,;\,-1\,;\,3), \quad B(1\,;\,1\,;\,2), \quad C(1\,;\,-1\,;\,7)$$
On considère également la droite $\Delta$ passant par les points $D(-1\,;\,6\,;\,8)$ et $E(11\,;\,-9\,;\,2)$.
Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = -1 + 4t \\ y = 6 - 5t \quad \text{avec } t \in \mathbb{R} \\ z = 8 - 2t \end{cases}$$
Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta'$ parallèle à $\Delta$ et passant par l'origine $O$ du repère.
Le point $F(1{,}36\,;\,-1{,}7\,;\,-0{,}7)$ appartient-il à la droite $\Delta'$ ?
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $4x - 5y - 2z + 5 = 0$.
Montrer que le point $G(7\,;\,-4\,;\,4)$ appartient à la droite $\Delta$.
Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(ABC)$.
En déduire que la distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{5}$.
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCG$.
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.