BAC Spé Maths 2022 — Métropole J2 2022
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2022. Il couvre 3 thèmes : Analyse graphique, Dérivation et étude de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 2 — QCM
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un ou deux points. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour les questions 1 à 3 :
On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}'$ de sa fonction dérivée $f'$.
La courbe $\mathcal{C}'$ admet un maximum en $x = -\dfrac{3}{2}$ et coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2}\,;\, 0\right)$.
On rappelle que la courbe ci-dessous représente
la fonction dérivée $f ′$ de $f$ .
Courbe de f'
La fonction $f$ admet :
a) un maximum en $-\dfrac{3}{2}$
b) un maximum en $-\dfrac{1}{2}$
c) un minimum en $-\dfrac{1}{2}$
d) une tangente horizontale en $-1$
Parmi les quatre propositions suivantes, laquelle est vraie ?
a) $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;\, -\dfrac{3}{2}\right]$ et concave sur $\left[-\dfrac{3}{2}\,;\, +\infty\right[$
b) $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\, -\dfrac{3}{2}\right]$ et convexe sur $\left[-\dfrac{3}{2}\,;\, +\infty\right[$
c) $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;\, -\dfrac{1}{2}\right]$ et concave sur $\left[-\dfrac{1}{2}\,;\, +\infty\right[$
d) $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\, -\dfrac{1}{2}\right]$ et convexe sur $\left[-\dfrac{1}{2}\,;\, +\infty\right[$
La dérivée seconde $f''$ vérifie :
a) $f''\left(-\dfrac{3}{2}\right) = 0$ et $f''\left(-\dfrac{1}{2}\right) > 0$
b) $f''\left(-\dfrac{3}{2}\right) = 0$ et $f''\left(-\dfrac{1}{2}\right) < 0$
c) $f''\left(-\dfrac{3}{2}\right) < 0$ et $f''\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 0$
d) $f''\left(-\dfrac{3}{2}\right) > 0$ et $f''\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 0$
Pour les questions 4 à 6 :
Soit $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que pour tout entier naturel $n$ : $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$.
On suppose que $$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$$ et $$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = 3$$.
On peut affirmer que :
a) la suite $(v_n)$ est convergente
b) $$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 2$$
c) pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant v_n \leqslant 3$
d) on ne peut pas conclure sur la convergence de $(v_n)$
Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{n}$.
On peut affirmer que :
a) la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$
b) la suite $(u_n)$ converge vers $0$
c) la suite $(u_n)$ converge
d) la suite $(u_n)$ est positive
Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$ : $n < u_n < n + 1$.
On peut affirmer que :
a) la suite $(u_n)$ est croissante
b) la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$
c) la suite $(u_n)$ est majorée
d) pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est un entier