Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J2 2022. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Divers…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$$u_n = \frac{(-1)^n}{n+1}.$$
On peut affirmer que :
la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
la suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.
la suite $(u_n)$ n'a pas de limite.
la suite $(u_n)$ converge.
$\diamond\diamond\diamond$
Dans les questions 2 et 3, on considère deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ vérifiant la relation :
$$w_n = e^{-2v_n} + 2.$$
Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln(a)$.
$w_0 = \dfrac{1}{a^2} + 2$
$w_0 = \dfrac{1}{a^2 + 2}$
$w_0 = -2a + 2$
$w_0 = \dfrac{1}{-2a} + 2$
On sait que la suite $(v_n)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $(w_n)$ est :
décroissante et majorée par $3$.
décroissante et minorée par $2$.
croissante et majorée par $3$.
croissante et minorée par $2$.
On considère la suite $(a_n)$ ainsi définie :
$$a_0 = 2 \text{ et, pour tout entier naturel } n,\quad a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + \frac{8}{3}.$$
Pour tout entier naturel $n$, on a :
$a_n = 4 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n - 2$
$a_n = -\dfrac{2}{3^n} + 4$
$a_n = 4 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$
$a_n = 2 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{8n}{3}$
On considère une suite $(b_n)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$b_{n+1} = b_n + \ln\left(\frac{2}{(b_n)^2 + 3}\right).$$
On peut affirmer que :
la suite $(b_n)$ est croissante.
la suite $(b_n)$ est décroissante.
la suite $(b_n)$ n'est pas monotone.
le sens de variation de la suite $(b_n)$ dépend de $b_0$.
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$g(x) = \frac{e^x}{x}.$$
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = xe^{x^2+1}.$$
Soit $F$ une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a :
$F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 e^{x^2+1}$
$F(x) = \left(1 + 2x^2\right)e^{x^2+1}$
$F(x) = e^{x^2+1}$
$F(x) = \dfrac{1}{2}e^{x^2+1}$