BAC Spé Maths 2022 Polynésie J2 2022 — Aires et volumes, Distances dans l'espace, Droites et plans

Exercice

On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.
L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE}\right)$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, $K$ le centre du carré ADHE et $O$ le milieu du segment $[AG]$.

Cube ABCDEFGH avec les points I (milieu de [EF]), K (centre de ADHE) et O (milieu de [AG])

Le but de l'exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.

Partie 1. Première méthode

Question Q1

Donner, sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, et $G$.

On admet que les points $I$ et $K$ ont pour coordonnées $I\!\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right)$ et $K\!\left(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$.

Question Q2

Démontrer que la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.

Question Q3

Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est : $2x - y - z = 0$.

Question Q4

Donner une représentation paramétrique de la droite $(BK)$.

Question Q5

En déduire que le projeté orthogonal $L$ du point $B$ sur le plan $(AIG)$ a pour coordonnées $L\!\left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right)$.

Question Q6

Déterminer la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.

Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

Question Q7a

Justifier que dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.

Question Q7b

En déduire le volume du tétraèdre $ABIG$.

On admet que $AI = IG = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que $AG = \sqrt{3}$.

Question Q8

Démontrer que l'aire du triangle isocèle $AIG$ est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ unité d'aire.

Question Q9

En déduire la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.

BAC Spé Maths 2022 — Polynésie J2 2022

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