Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2023. Il couvre 3 thèmes : Équations différentielles, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 4 — Partie A
Le but de la partie A est d'étudier le comportement de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0{,}3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = 2u_n(1 - u_n).$$
Cette relation de récurrence s'écrit $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = 2x(1 - x).$$
Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,\dfrac{1}{2}\right]$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{2}$.
Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant u_{n+1}$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Justifier que la limite de la suite $(u_n)$ est égale à $\dfrac{1}{2}$.
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Partie B
Le but de cette partie est d'étudier un modèle d'évolution d'une population.
En 2022, cette population compte 3 000 individus.
On note $P_n$ l'effectif en milliers de la population l'année $2022 + n$. Ainsi $P_0 = 3$.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX$^\text{e}$ siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :
$$P_{n+1} - P_n = P_n(1 - b \times P_n),$$
où $b$ est un réel strictement positif.
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.
1. Dans cette question $b = 0$.
Justifier que la suite $(P_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Déterminer la limite de $P_n$.
2. Dans cette question $b = 0{,}2$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0{,}1 \times P_n$.
Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n(1 - v_n)$.
Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d'une valeur que l'on précisera.