Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2023. Il porte sur les thèmes Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$,
$$u_{n+1} = 5u_n - 8n + 6.$$
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Soit $n$ un entier naturel.
Recopier et compléter la fonction `suite_u` d'argument `n` ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu'elle retourne la valeur de $u_n$.
def suite_u(n) :
u = ...
for i in range(1,n+1) :
u = ...
return u
Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geqslant 2n$.
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
Soit $p \in \mathbb{N}^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant $n \geqslant n_0$, $u_n \geqslant 10^p$ ?
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
On considère la suite $(v_n)$, définie pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $v_n = u_n - 2n + 1$.
En dessous de la fonction `suite_u` précédente, on a écrit la fonction `suite_v` ci-dessous :
def suite_v(n):
L = []
for i in range(n+1) :
L.append(suite_u(i) - 2*i + 1)
return L
La commande « `L.append` » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste `L`.
Lorsqu'on saisit `suite_v(5)` dans la console, on obtient l'affichage suivant :
>>> suite_v(5)
[1, 5, 25, 125, 625, 3125]
Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
Démontrer cette conjecture.
En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.