BAC Spé Maths 2023 — Asie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Équations et inéquations, Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $k$ un réel strictement positif.
Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l'équation
$$\ln(x) = k\,x$$
de paramètre $k$.
1. Conjectures graphiques :
On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d'équation $y = \ln(x)$, la droite d'équation $y = x$ ainsi que la droite d'équation $y = 0{,}2x$ :
Courbes de $y = \ln x$, $y = 0{,}2x$ et $y = x$
À partir du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = k\,x$ pour $k = 1$ puis pour $k = 0{,}2$.
2. Étude du cas $k = 1$ :
On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, par :
$$f(x) = \ln(x) - x.$$
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Calculer $f'(x)$.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a.
Les limites aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
En déduire le nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = x$.
3. Étude du cas général :
$k$ est un nombre réel strictement positif.
On considère la fonction $g$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$g(x) = \ln(x) - k\,x.$$
On admet que le tableau des variations de la fonction $g$ est le suivant :
Tableau des variations de $g$
Donner, en fonction du signe de $g\!\left(\dfrac{1}{k}\right)$ le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$.
Calculer $g\!\left(\dfrac{1}{k}\right)$ en fonction du réel $k$.
Montrer que $g\!\left(\dfrac{1}{k}\right) > 0$ équivaut à $\ln(k) < -1$.
Déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l'équation $\ln(x) = k\,x$ possède exactement deux solutions.
Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = k\,x$.