BAC Spé Maths 2023 — Asie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Fonction logarithme népérien. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2 (6 points)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = \ln\left(e^{2x} - e^x + 1\right).$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.
$\mathcal{C}_f$
Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :
1. L'équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.
2. Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $\left[-0{,}5\,;\,+\infty\right[$.
3. L'équation de la tangente au point d'abscisse $x = 0$ semble être : $y = 1{,}5x$.
Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.
Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire
On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $g$ définie par
$$g(x) = e^{2x} - e^x + 1.$$
Déterminer $$\lim_{x \to -\infty} g(x).$$
Montrer que $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty.$$
Montrer que $g'(x) = e^x(2e^x - 1)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$.
Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X = e^x$.
Partie B
Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$.
Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.
Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2)\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln(2)\,;\,+\infty\right[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
Partie C
À l'aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l'élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.