BAC Spé Maths 2023 — Centres étrangers Groupe 1 J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers Groupe 1 J1 2023. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3
On considère le prisme droit $ABFEDCGH$, de base $ABFE$, trapèze rectangle en $A$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ tel que :
$$\vec{\imath} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB},\quad \vec{\jmath} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD},\quad \vec{k} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AE}.$$
De plus on a $\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.
Prisme droit ABFEDCGH avec repère orthonormé
Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(IGJ)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(IGJ)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $(IGJ)$ et passant par $H$.
On note $L$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(IGJ)$.
Montrer que les coordonnées de $L$ sont $\left(\dfrac{8}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{16}{3}\right)$.
Calculer la distance du point $H$ au plan $(IGJ)$.
Montrer que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
En déduire le volume du tétraèdre $IGJH$.
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :
$$V = \frac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.$$