Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J1 2023. Il couvre 4 thèmes : Analyse graphique, Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$g(x) = \ln\left(x^2\right) + x - 2$$
Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Partie B
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = \frac{(x-2)}{x}\ln(x)$$
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
Interpréter graphiquement le résultat.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Partie C
Étudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.