Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2023. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère les points
$$A(1\,;\,0\,;\,-1),\quad B(3\,;\,-1\,;\,2),\quad C(2\,;\,-2\,;\,-1) \quad\text{et}\quad D(4\,;\,-1\,;\,-2).$$
On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique
$$\begin{cases} x = 0 \\ y = 2+t \\ z = -1+t \end{cases}, \text{ avec } t \in \mathbb{R}.$$
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l'on notera $\mathcal{P}$.
Montrer que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point $C$ par rapport à $D$ ?
Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x + y - z - 3 = 0$.
Calculer la distance $CD$.
Existe-t-il un point $M$ du plan $\mathcal{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD = \sqrt{6}$ ? Justifier la réponse.
Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
Soit $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
Montrer que $H$ est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t = -2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
En déduire la distance du point $D$ à la droite $\Delta$.