Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J1 2023. Il porte sur les thèmes Algorithmique et programmation Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par :
$$u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3.$$
Démontrer que $u_1 = 12$.
Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $(u_n)$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_n \geqslant n + 1.$$
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$v_n = u_n - n - 1.$$
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
$$u_n = 2 \times 5^n + n + 1.$$
En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
On considère la fonction ci-contre, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 10^7$.
def suite() :
u = 3
n = 0
while ... :
u = ...
n = n + 1
return n
Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?