Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2023. Il couvre 3 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère :
- $d_1$ la droite passant par le point $H(2\,;\,3\,;\,0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ ;
- $d_2$ la droite de représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = 2k-3 \\ y = k \\ z = 5 \end{cases} \text{ où } k \text{ décrit } \mathbb{R}.$$
Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.
Déterminer un vecteur directeur $\vec{v}$ de la droite $d_2$.
Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes.
Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
Vérifier que le vecteur $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
On considère le plan $P$ passant par le point $H$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est :
$$5x + 4y - z - 22 = 0.$$
Démontrer que l'intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $M(3\,;\,3\,;\,5)$.
Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vec{w}$ passant par le point $M$.
Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par :
$$\begin{cases} x = -r+3 \\ y = 2r+3 \\ z = 3r+5 \end{cases} \text{ où } r \text{ décrit } \mathbb{R}.$$
Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point $L$ dont on déterminera les coordonnées.
Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.