BAC Spé Maths 2023 — Polynésie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2023. Il porte sur les thèmes Fonction logarithme népérien et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = 0{,}9\,u_n - 0{,}3.$$
Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2 \times 0{,}9^n - 3$.
En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $-3 < u_n \leqslant -1$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
Démontrer que la suite $(u_n)$ converge et préciser sa limite.
On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $\left]-3\,;\,-1\right]$ par :
$$g(x) = \ln(0{,}5x + 1{,}5) - x.$$
Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$).
Tableau de variations de $g$
En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l'on notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.
Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$, par :
$$v_n = \ln(0{,}5\,u_n + 1{,}5).$$
En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $\ln(0{,}9)$.
Soit $n$ un entier naturel.
Démontrer que $u_n = v_n$ si, et seulement si $g(u_n) = 0$.
Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $u_k = \alpha$.
En déduire qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $v_k = u_k$.