Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2023. Il couvre 3 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2 — Thème : géométrie dans l'espace
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère :
- le point $A(1\,;\,-1\,;\,-1)$ ;
- le plan $\mathscr{P}_1$, d'équation : $5x + 2y + 4z = 17$ ;
- le plan $\mathscr{P}_2$ d'équation : $10x + 14y + 3z = 19$ ;
- la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 3 - 2t \end{cases} \text{ où } t \text{ décrit } \mathbb{R}.$$
Justifier que les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ ne sont pas parallèles.
Démontrer que $\mathscr{D}$ est la droite d'intersection de $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
Vérifier que $A$ n'appartient pas à $\mathscr{P}_1$.
Justifier que $A$ n'appartient pas à $\mathscr{D}$.
Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathscr{D}$ de coordonnées $(1+2t\,;\,-t\,;\,3-2t)$.
On considère alors la fonction $f$ qui à tout réel $t$ associe $AM^2$, soit $f(t) = AM^2$.
Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t) = 9t^2 - 18t + 17$.
Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3\,;\,-1\,;\,1)$.
On note $H$ le point de coordonnées $(3\,;\,-1\,;\,1)$.
Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathscr{D}$.