BAC Spé Maths 2024 — Amérique du Nord J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2024. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = x\ln\left(x^2\right) - \frac{1}{x}.$$
Partie A : lectures graphiques
On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point $A$ de coordonnées $(1\,;\,-1)$. Cette tangente passe également par le point $B(0\,;\,-4)$.
Courbe $(\mathcal{C}_f)$ et tangente $(T)$ en $A(1\,;\,-1)$ passant par $B(0\,;\,-4)$
Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?
Partie B : étude analytique
Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$,
$$f''(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}.$$
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie :
$$\alpha^2 = \exp\!\left(\frac{1}{\alpha^2}\right).$$