Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2024. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Les données publiées le 1er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :
- 22,86% des véhicules étaient des véhicules neufs ;
- 8,08% des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
- 1,27% des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.
Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.
Partie I
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
On note :
- $N$ l'évènement « le véhicule est neuf » ;
- $R$ l'évènement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
- $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$.
Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0{,}0283$.
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.
Partie II
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0{,}65$.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
Déterminer la probabilité qu'exactement 325 de ces véhicules soient neufs.
Déterminer la probabilité $p(X \geq 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie III
On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0{,}65$.
On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \geq 0{,}9999$.