Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2024. Il couvre 4 thèmes : Dénombrement et combinatoire, Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On dispose de deux urnes opaques $U_1$ et $U_2$.
L'urne $U_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.
L'urne $U_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.
On considère l'expérience aléatoire suivante :
On pioche au hasard une boule dans $U_1$ que l'on place dans $U_2$, puis on pioche au hasard une boule dans $U_2$.
On note :
- $N_1$ l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne $U_1$ ».
- $N_2$ l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ ».
Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire.
PARTIE A
On considère l'arbre de probabilités ci-contre.
Arbre de probabilités de l'expérience (à compléter)
a. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne $U_1$ est $0{,}2$.
b. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale.
Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_1$ et une boule noire dans l'urne $U_2$.
Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ est égale à $0{,}28$.
On a pioché une boule noire dans l'urne $U_2$. Calculer la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne $U_1$. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.
PARTIE B
$n$ désigne un entier naturel non nul.
L'expérience aléatoire précédente est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, c'est-à-dire que les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne $U_2$, entre chaque expérience.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne $U_2$.
On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ est égale à $0{,}28$ et celle de piocher une boule blanche dans l'urne $U_2$ est égale à $0{,}72$.
Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.
Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$$1 - 0{,}72^n \geqslant 0{,}9.$$
Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.
PARTIE C
Dans cette partie les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne $U_2$.
On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante :
On pioche simultanément deux boules dans l'urne $U_1$ que l'on place dans l'urne $U_2$, puis on pioche au hasard une boule dans l'urne $U_2$.
Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne $U_1$ ?
Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne $U_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?
La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne $U_2$ avec cette nouvelle expérience est-elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne $U_2$ avec l'expérience de la partie A ? Justifier votre réponse.
On pourra s'aider d'un arbre pondéré modélisant cette expérience.