Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2024. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = x^2 - x\ln(x).$$
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée de la fonction $f'$.
Partie A : Étude de la fonction $f$
Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.
Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif :
$$f''(x) = \frac{2x-1}{x}.$$
Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $f'$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de l'équation $f(x) = x$
On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$g(x) = x - \ln(x).$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on note $g'$ sa dérivée.
Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$.
Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
On admet que $1$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 1$.
Résoudre, sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, l'équation $f(x) = x$.
Partie C : Étude d'une suite récurrente
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1} = f(u_n) = u_n^2 - u_n \ln(u_n).$$
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$$\frac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1.$$
Justifier que la suite $(u_n)$ converge.
On appelle $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$.
Déterminer la valeur de $\ell$.