BAC Spé Maths 2024 — Centres Étrangers Suède J1 bis
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers Suède J1 bis 2024. Il couvre 5 thèmes : Analyse graphique, Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un d'une marque A et l'autre d'une marque B.
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Partie 1 : appareil de la marque A
À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de la marque A.
On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer.
Courbe de température (en °C) en fonction du temps (en min) pour l'appareil de marque A
Par lecture graphique :
Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l'intérieur du foyer.
Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l'intérieur du foyer dépasse $300\,\mathrm{°C}$.
On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.
Estimer la valeur de $$\dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\,dt$$. Interpréter le résultat.
Partie 2 : étude d'une fonction
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$g(t) = 10t\,e^{-0{,}01t} + 20.$$
Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
Montrer que pour tout $t \in \left[0\,;\,+\infty\right[$, $g'(t) = (-0{,}1t + 10)\,e^{-0{,}01t}$.
Étudier les variations de la fonction $g$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et construire son tableau de variations.
Démontrer que l'équation $g(t) = 300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$. En donner des valeurs approchées à l'unité.
À l'aide d'une intégration par parties, calculer $$\displaystyle\int_0^{600} g(t)\,dt$$.
Partie 3 : évaluation
Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer $t$ minutes après l'allumage est modélisée sur $\left[0\,;\,600\right]$ par la fonction $g$.
L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :
- Critère 1 : la température maximale est supérieure à $320\,\mathrm{°C}$.
- Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de $2$ heures.
- Critère 3 : la température moyenne durant les 10 premières heures après l'allumage dépasse $250\,\mathrm{°C}$.
- Critère 4 : la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300\,\mathrm{°C}$ pendant plus de $5$ heures.
Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.