Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Compilation 2024. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Variables aléatoires · espérance et variance. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3 — Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.
Partie I
Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.
On considère que :
- Un candidat pris au hasard a une probabilité $0{,}8$ de répondre correctement à la question Q1.
- Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité $0{,}6$ de répondre correctement à Q2 ; s'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité $0{,}1$ de répondre correctement à Q2.
On prend un candidat au hasard et on note :
- $A$ l'évènement : « le candidat répond correctement à la question Q1 » ;
- $B$ l'évènement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ».
On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires de $A$ et de $B$.
Recopier et compléter les pointillés de l'arbre pondéré ci-dessous.
Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.
Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.
On note :
- $X_1$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;
- $X_2$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;
- $X$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice, c'est-à-dire $X = X_1 + X_2$.
Déterminer l'espérance de $X_1$ et de $X_2$. En déduire l'espérance de $X$. Donner une interprétation de l'espérance de $X$ dans le contexte de l'exercice.
On souhaite déterminer la variance de $X$.
a. Déterminer $P(X=0)$ et $P(X=2)$. En déduire $P(X=1)$.
b. Montrer que la variance de $X$ vaut $0{,}57$.
c. A-t-on $V(X) = V(X_1) + V(X_2)$ ? Est-ce surprenant ?
Partie II
Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes.
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.
Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité $\frac{3}{4}$ de répondre correctement, indépendamment des autres questions.
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c'est-à-dire le nombre de bonnes réponses.
Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Donner la valeur exacte de $P(Y=8)$.
Donner l'espérance et la variance de $Y$.
Partie III
On suppose que les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l'examen : $Z = X + Y$.
Calculer l'espérance et la variance de $Z$.
Soit $n$ un nombre entier strictement positif.
Pour $i$ entier variant de $1$ à $n$, on note $Z_i$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la note de l'élève numéro $i$ à l'examen.
On admet que les variables aléatoires $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n$ sont identiques à $Z$ et indépendantes.
On note $M_n$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la moyenne de leurs $n$ notes, c'est-à-dire :
$$M_n = \frac{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n}{n}$$
a. Quelle est l'espérance de $M_n$ ?
b. Quelles sont les valeurs de $n$ telles que l'écart type de $M_n$ soit inférieur ou égal à $0{,}5$ ?
c. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que $6{,}3 \leq M_n \leq 8{,}3$ est supérieure ou égale à $0{,}75$.