Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2024. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Divers, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Alain possède une piscine qui contient $50\,\mathrm{m}^3$ d'eau. On rappelle que $1\,\mathrm{m}^3 = 1000\,\mathrm{L}$.
Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.
Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en $\mathrm{mg \cdot L^{-1}}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3\,\mathrm{mg \cdot L^{-1}}$.
Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.
Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0{,}01\,\mathrm{mg \cdot L^{-1}}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0{,}70\,\mathrm{mg \cdot L^{-1}}$.
Partie A : étude d'un modèle discret.
Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d'ajouter chaque jour une quantité de $15\,\mathrm{g}$ de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l'eau de la piscine.
Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0{,}3\,\mathrm{mg \cdot L^{-1}}$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en $\mathrm{mg \cdot L^{-1}}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0{,}7$.
On admet que pour tout entier naturel $n$,
$$v_{n+1} = 0{,}92\,v_n + 0{,}3.$$
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 4$.
Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente et calculer sa limite.
À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
Reproduire et compléter l'algorithme ci-après écrit en langage Python pour que la fonction `alerte_chlore` renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n > s$.
def alerte_chlore(s) :
n = 0
u = 0.7
while ... :
n = ...
u = ...
return n
Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction `alerte_chlore(3)` ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B : étude d'un modèle continu.
Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.
Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en $\mathrm{mg \cdot L^{-1}}$, dans la piscine.
On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y' = -0{,}08y + \dfrac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.
Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x) = Ce^{-0{,}08x} + \dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.
Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0{,}7\,\mathrm{mg \cdot L^{-1}}$. On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2\,\mathrm{mg \cdot L^{-1}}$. Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.