BAC Spé Maths 2024 — Métropole J2 Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Septembre 2024. Il couvre 5 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \frac{6}{1+5e^{-x}}$$
On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$.
$\mathscr{C}_f$, courbe de $f(x) = \dfrac{6}{1+5e^{-x}}$, avec le point $A$
Montrer que le point $A$ de coordonnées $(\ln 5\,;\,3)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
Montrer que la droite d'équation $y = 6$ est une asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a :
$$f'(x) = \frac{30e^{-x}}{\left(1+5e^{-x}\right)^2}.$$
En déduire le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.
On admet que :
- $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, on note $f''$ sa dérivée seconde ;
- pour tout réel $x$, $f''(x) = \dfrac{30e^{-x}(5e^{-x}-1)}{\left(1+5e^{-x}\right)^3}$.
Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$. On montrera en particulier que la courbe $\mathscr{C}_f$ admet un point d'inflexion.
Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $\left]\,-\infty\,;\,\ln 5\right]$, on a : $f(x) \geqslant \dfrac{5}{6}x + 1$.
On considère une fonction $F_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F_k(x) = k\ln(e^x+5)$, où $k$ est une constante réelle.
Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
En déduire que l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 5$ est égale à $6\ln\!\left(\dfrac{5}{3}\right)$.
Partie B
L'objectif de cette partie est d'étudier l'équation différentielle suivante :
$$(E) \quad y' = y - \frac{1}{6}y^2.$$
On rappelle qu'une solution de l'équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x$ réel, on a :
$$u'(x) = u(x) - \frac{1}{6}[u(x)]^2.$$
Montrer que la fonction $f$ définie dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
Résoudre l'équation différentielle $y' = -y + \dfrac{1}{6}$.
On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui ne s'annule pas.
On note $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$.
On admet que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$.
Montrer que si $h$ est solution de l'équation différentielle $y' = -y + \dfrac{1}{6}$, alors $g$ est solution de l'équation différentielle $y' = y - \dfrac{1}{6}y^2$.
Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$g_m(x) = \frac{6}{1+6me^{-x}}.$$
Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y' = y - \dfrac{1}{6}y^2$.