Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole Secours 2024. Il couvre 6 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A : étude d'une fonction
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = x - \ln\left(x^2 + 1\right),$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a :
$$f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}.$$
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Montrer que pour tout nombre réel $x > 0$, on a :
$$f(x) = x - 2\ln(x) - \ln\!\left(1 + \frac{1}{x^2}\right).$$
Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Partie B : étude d'une suite
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\begin{cases} u_0 = 7 \\ u_{n+1} = f(u_n) = u_n - \ln\left(u_n^2 + 1\right) & \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$
Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ : $u_n > 0$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
En déduire la convergence de la suite $(u_n)$.
On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
Recopier et compléter le script ci-dessous écrit en langage Python afin qu'il renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle $u_n \leqslant h$, où $h$ est un nombre réel strictement positif.
from math import log as ln
#permet d'utiliser la fonction ln
#Le Logarithme népérien
def seuil(h) :
n = 0
u = 7
while ... :
n = n+1
u = ...
return n
Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on saisit $\text{seuil}(0.01)$ dans la console Python. Justifier la réponse.
Partie C : calcul intégral
Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$.
Interpréter graphiquement l'intégrale :
$$I = \int_2^4 f(x)\,dx.$$
On admet dans cette question que, pour tout nombre réel $x \in \left[2\,;\,4\right]$, on a l'encadrement :
$$0{,}5x - 1 \leqslant f(x) \leqslant 0{,}25x + 0{,}25.$$
En déduire l'encadrement :
$$1 \leqslant I \leqslant 2.$$