BAC Spé Maths 2024 — Polynésie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 2024. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.
Partie A
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».
Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ :
| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = k)$ | ... | ... | ... | ... |
Partie B
Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :
- On lance trois pièces équilibrées :
- Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée ;
- Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
- La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.
On considère les évènements suivants :
- $G$ : « la partie est gagnée ».
Et pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $3$, les évènements :
- $A_k$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».
Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac{1}{4}$.
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
Arbre pondéré du jeu (à compléter)
Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p = \dfrac{27}{64}$.
La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0{,}95$ ?