BAC Spé Maths 2025 — Amérique du Nord Secours
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord Secours 2025. Il porte sur les thèmes Limites de fonctions et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_1 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n \end{cases}$$
Partie A : Conjecture
Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.
Tableau des premières valeurs de la suite $(u_n)$
Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.
Partie B : Étude d'une suite auxiliaire
Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$w_n = u_{n+1} - \frac{1}{2}u_n$$
Calculer $w_0$.
Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_{n+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \frac{1}{2}u_n$$
Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,
$$u_n = n\left(\frac{1}{2}\right)^n.$$
Partie C : Étude de la suite $(u_n)$
Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.
On admet que la limite de la suite $(u_n)$ est solution de l'équation : $\ell = \ell - \dfrac{1}{4}\ell$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.