BAC Spé Maths 2025 — Amérique du Sud J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2025. Il couvre 5 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère les points
$$A\left(2\sqrt{3}\,;\,0\,;\,0\right), \quad B(0\,;\,2\,;\,0), \quad C(0\,;\,0\,;\,1) \quad \text{et} \quad K\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\,0\right).$$
Représentation des points $A$, $B$, $C$, $O$, $K$ dans le repère orthonormé
Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(CK)$ est :
$$\begin{cases} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,t \\ y = \dfrac{3}{2}\,t \\ z = 1 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
Soit $M(t)$ un point de la droite $(CK)$ paramétrée par un réel $t$. Établir que $OM(t) = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$.
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$, où $f(t) = OM(t)$.
En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $f$ atteint son minimum.
En déduire que le point $H\left(\dfrac{\sqrt{3}}{8}\,;\,\dfrac{3}{8}\,;\,\dfrac{3}{4}\right)$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur la droite $(CK)$.
Démontrer, à l'aide de l'outil produit scalaire, que le point $H$ est l'orthocentre (intersection des hauteurs d'un triangle) du triangle $ABC$.
Démontrer que la droite $(OH)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
En déduire une équation du plan $(ABC)$.
Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle $ABC$.