BAC Spé Maths 2025 — Amérique du Sud J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2025. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Fonction logarithme népérien, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 3
On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :
$$\begin{cases} v_0 = \ln(4) \\ v_{n+1} = \ln(-1+2e^{v_n}) \end{cases} \quad \text{et} \quad w_n = -1 + e^{v_n}.$$
On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive.
Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$.
Feuille de calcul avec les valeurs de $(v_n)$ et $(w_n)$
Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ est reproduite ci-contre.
Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite $(v_n)$ dans la colonne B.
| Formule 1 | LN(−1+2 EXP(B2)) |
|---|---|
| Formule 2 | = LN(−1+2 EXP(B2)) |
| Formule 3 | = LN(−1+2 * EXP(A2)) |
Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$.
À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_n)$.
Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique.
En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n = \ln(1+3\times 2^n)$.
Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
Justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.
from math import*
def seuil(S):
V=ln(4)
n=0
while V < S :
n=n+1
V=ln(2*exp(V)-1)
return(n)