Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J2 2025. Il couvre 3 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On se place dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ de l'espace.
On considère les points $A(1\,;\,0\,;\,3)$, $B(-2\,;\,1\,;\,2)$ et $C(0\,;\,3\,;\,2)$.
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}$. Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne
$$-x + y + 4z - 11 = 0.$$
On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x - 3y + 2z - 9 = 0$ et le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - y - z + 2 = 0$.
Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.
Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.
Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$.
Montrer que le point $M(2\,;\,1\,;\,3)$ appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$.
Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?