BAC Spé Maths 2025 — Métropole J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Aires et volumes, Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$. On admet qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.
Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous :
- la courbe représentative de $f$, notée $\mathscr{C}_f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,3\right]$ ;
- la droite $T_A$, tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $A(1\,;\,2)$ ;
- la droite $T_B$ tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $B(e\,;\,e)$.
On précise par ailleurs que la tangente $T_A$ passe par le point $C(3\,;\,0)$.
Courbe $\mathscr{C}_f$, tangente $T_A$ en $A(1\,;\,2)$, tangente $T_B$ en $B(e\,;\,e)$, point $C(3\,;\,0)$, zone hachurée
Partie A : Lectures graphiques
On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.
Déterminer le nombre dérivé $f'(1)$.
Combien de solutions l'équation $f'(x) = 0$ admet-elle dans l'intervalle $\left]0\,;\,3\right]$ ?
Quel est le signe de $f''(0{,}2)$ ?
Partie B : étude de la fonction $f$
On admet dans cette partie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = x\left[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2\right]$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2X^2 - 3X + 2 = 0$. En déduire que $\mathscr{C}_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$. On admettra que la limite de $f$ en $0$ est égale à $0$.
On admet que pour tout $x$ appartenant à $\left]0\,;\,+\infty\right[$, $f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1$.
Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\left]0\,;\,+\infty\right[$, $f''(x) = \dfrac{1}{x}(4\ln x + 1)$.
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.
Montrer que la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de la tangente $T_B$ sur l'intervalle $\left]1\,;\,+\infty\right[$.
Partie C : Calcul d'aire
Justifier que la tangente $T_B$ a pour équation réduite $y = 2x - e$.
À l'aide d'une intégration par parties, montrer que
$$\int_1^e x \ln x \, dx = \frac{e^2 + 1}{4}.$$
On note $\mathscr{A}$ l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, la tangente $T_B$, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = e$.
On admet que $$\displaystyle\int_1^e x(\ln x)^2 \, dx = \dfrac{e^2 - 1}{4}$$.
En déduire la valeur exacte de $\mathscr{A}$ en unité d'aire.