BAC Spé Maths 2025 — Métropole J2 Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Septembre 2025. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,8\right]$ par
$$f(x) = \frac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x}$$
Soit $C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\right)$.
Partie A
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0$.
En déduire que pour tout $x \in \left]0\,;\,8\right]$, on a $f(x) \geqslant 0$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
Partie B
La courbe $C_f$ est représentée ci-dessous.
Soit $M$ le point de $C_f$ d'abscisse $x$ avec $x \in \left]0\,;\,8\right]$.
On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.
Dans cette partie, on s'intéresse à l'aire $\mathscr{A}(x)$ du rectangle $ONMP$.
Courbe $C_f$ avec le rectangle $ONMP$
Donner les coordonnées des points $N$ et $P$ en fonction de $x$.
Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,8\right]$,
$$\mathscr{A}(x) = 10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)$$
Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l'aire du rectangle $ONMP$ est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.
Partie C
On considère un réel strictement positif $k$.
On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$, approchée au dixième, appartenant à $\left[3{,}5\,;\,8\right]$ pour laquelle l'aire $\mathscr{A}(x)$ devient inférieure ou égale à $k$.
Pour ce faire, on considère l'algorithme ci-dessous.
Pour rappel, en langage Python, $\ln(x)$ s'écrit `log(x)`.
from math import *
def A(x) :
return 10*log (- 1* x**2 + 7*x + 9)
def pluspetitevaleur(k) :
x = 3.5
while A(x).......... :
x = x + 0.1
return ...........
Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l'algorithme.
Quel nombre renvoie alors l'instruction `pluspetitevaleur(30)` ?
Que se passe-t-il lorsque $k = 35$ ? Justifier.