Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J1 2025. Il couvre 5 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$ par :
$$f_n(x) = x^n e^{1-x}.$$
On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $\left[0\,;\,1\right]$ et on note $f'_n$ sa fonction dérivée.
Partie A
Dans cette partie on étudie le cas où $n = 1$. On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\left[0\,;\,1\right]$ par :
$$f_1(x) = x e^{1-x}.$$
Montrer que $f'_1(x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de $\left[0\,;\,1\right[$.
En déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$.
En déduire que l'équation $f_1(x) = 0{,}1$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$.
Partie B
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par
$$u_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx \quad \text{c'est-à-dire} \quad u_n = \int_0^1 x^n e^{1-x}\,dx.$$
On admet que $u_1 = e - 2$.
Justifier que pour tout $x \in \left[0\,;\,1\right]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,
$$0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.$$
En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,
$$0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.$$
Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$$u_{n+1} = (n+1)u_n - 1.$$
On considère le script Python ci-dessous définissant la fonction `suite()` :
from math import exp
def suite():
u = ...
for n in range(1, ...):
u = ...
return
Recopier et compléter le script Python ci-dessus pour que la fonction `suite()` renvoie la valeur de $$\displaystyle\int_0^1 x^8 e^{1-x}\,dx$$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$$u_n \leqslant \frac{e}{n+1}.$$
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.